Процесс Гаусса — Маркова

Проце́сс Га́усса — Ма́ркова — случайный процесс, который удовлетворяет требованиям как для гауссовского процесса, так и для марковского. Назван в честь Карла Фридриха Гаусса и Андрея Андреевича Маркова. Стационарный процесс Гаусса — Маркова также известен как процесс Орнштейна — Уленбека.

Основные свойства

Каждый процесс Гаусса — Маркова $X(t)$ обладает тремя следующими свойствами:

1. Если $h(t)$ — ненулевая скалярная функция от $t$, то $z(t)=h(t)X(t)$ также является процессом Гаусса — Маркова.
2. Если $f(t)$ — неубывающая скалярная функция от $t$, то $z(t)=X(f(t))$ также является процессом Гаусса — Маркова.
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднеквадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция $h(t)$ и строго возрастающая скалярная функция $f(t)$ такие, что $X(t)=h(t)W(f(t))$, где $W(t)$ — стандартный винеровский процесс.

Свойство (3) означает, что любой невырожденный непрерывный в среднеквадратическом процесс Гаусса — Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса.

Прочие свойства

Стационарный процесс Гаусса — Маркова с дисперсией ${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$ и постоянной времени $\beta ^{-1}$ обладает следующими свойствами.

• Экспоненциальная автокорреляция:

${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.\,$

• Функция спектральной плотности мощности, имеет ту же форму, что и распределение Коши:

${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.\,$

(Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными коэффициентами.)

• Вышеупомянутое даёт следующую спектральную факторизацию:

${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}},$

что важно в винеровском оценивании и других областях.